函数的概念

设 A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f ：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作

y = f ( x ), x ∈ A

x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合｛ f (x) | x∈A ｝叫做函数的值域。值域是集合B的子集。

函数符号 y = f ( x ) 是由德国数学家菜布尼兹在1 8 世纪引入的。

举例说明定义域和值域

例题

研究函数用到的区间的概念 :

设 a，b 是两个实数，而且a＜b。我们规定：

函数定义域可以用区间表示

无穷大

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。值域是由定义域和对应关系决定的。定义域和对应关系相等的两个函数相等。

例题

函数的表示方法

先前的数学笔记中，函数的描述方法有列举法，解析法和图象法。函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。

例题

像例题中的函数图象称为分段函数。

A ，B 是非空的集合，按确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 f ：A → B 为从集合A到集合B的一个映射。

函数的基本性质

㈠ 单调性与最大（小）值

函数的单调性:描述函数图象的“上升”和“下降”。

一次函数 f (x) = x 和二次函数 f (x) = x2 的单调性。

一次函数和二次函数

二次函数 f (x) = x 2 图象在区间 (一∞，0] 上，f (x) 随着 x 的增大而减小，在区间 (0，+∞) 上， f (x) 随着 x 的增大而增大。

一般地，设函数 f (x) 的定义域为 A ：

如果对于定义域 A 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ，x2 ，当 x1 ＜ x2 时，都有 f (x1) ＜ f(x2) ，则函数 f(x) 在区间 D 上是增函数；若 f(x1) ＞ f(x2) ，则函数 f(x) 在区间 D 上是减函数。

单调性

函数 y = f ( x ) 在区间D上是增函数(或减函数)，就说函数 y = f ( x ) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y = f (x) 的单调区间。

一个函数 f (x) 的图象有最低点时，函数 f (x) 有最小值。一次函数 f (x) = x 的图象没有最低点，则函数 f (x) = x 没有最小值。

一般地，设函数 y = f (X) 的定义域为 A ，如果存在实数 m 满足：

① 对于任意的 x ∈ A ，都有 f (x) ≤ m ；

② 存在 x0 ∈ A ，使得 f (x0) = m 。

则 m 是函数 y = f (x) 的最大值。

例题

㈡ 奇偶性

一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f (－x) = f ( x ) ，那么函数 f (x) 就叫做偶函数 (关于y轴对称的函数图象) ；若 f (－x) = － f (x)，那么函数 f (x) 就叫做奇函数 (关于原点对称的函数图象) 。

偶函数图象

奇函数图象

例题